Найти единичный  вектор m,  перпендикулярный  векторам a=2i+j+k и  b=1,1,2.

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное творение одинаково нулю.
Скалярное произведение векторов: (m,a)=Xm*Xa+Ym*Ya+Zm*Za (1).
В нашем случае координаты вектора а=2;1;1, координаты вектора
b=1;1;2 и тогда:(m,a)=Xm*2+Ym*1+Zm*1 =0.  Аналогично
(m,b)=Xm*1+Ym*1+Zm*2 =0 (2).
Единичный вектор имеет длину (модуль) одинаковую 1, то есть
m = (Xm+Ym+Zm)=1. Возведем в квадрат:
 Xm+Ym+Zm)=1 (3).
Из (2) вычтем (1): Xm-Zm=0 либо Xm=Zm, тогда Ym= -3Xm.
Подставим эти значения в (3): Xm+9Xm+Xm)=1  =gt; Xm=Zm=1/11, Ym=-3/11.
Итак, разыскиваемый единичный вектор m = 1/11;-3/11;1/11. Но есть и обратно направленный ему вектор -m, который также перпендикулярен векторам а и b.  Обратно направленные вектора, это вектора, координаты которых пропорциональны и коэффициент пропорциональности ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ.
Коэффициент пропорциональности равен -1.
Означает вектор -m = -1/11;3/11;-1/11.

2-ой вариант:
Векторное творение векторов a и b по определению - вектор, перпендикулярно направленный плоскости параллелограмма, интеллигентного векторами а и b. Обретаем вектор по формуле:
           i  j  k
(a*b)= 2 1  1   =  i (aybz - azby) - j (axbz - azbx) + k (axby - aybx)  либо
           1 1  2
(a*b)= i(2-1)-j(4-1)+k(2-1) = i -3j +k.  то есть мы получили вектор (a*b) с координатами (a*b)=1;-3;1.
Модуль (длина) этого вектора одинакова a*b = (1+9+1) =11.
Мы знаем, что единичный вектор - это вектор, коллинеарный данному, но имеющий модуль, одинаковый 1. То есть каждую координату необходимо поделить на модуль вектора a*b.  Это вектор
m=1/11; -3/11; 1/11  и противоположный ему вектор
-m=-1/11; 3/11; -1/11.