Обоснуйте, что серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через ее центр. 

Соединим центр О окружности с концами хорды АВ. ОА=ОВ=R. 

Треугольник АОВ - равнобедренный. Проведем вышину ОН  этого треугольника. 

Угол ОНВ=углу ОНА=90

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один

Как следует, и к середине хорды можно провести только один перпендикуляр. 

Вышина ОН - медиана равнобедренного треугольника.

АН=ВН. Точка Н - середина АВ. 

Как следует,  ОН, проходящий через середину АВ, есть срединный перпендикуляр хорды АВ, ч.т.д.