В треугольнике ABC медиана AM перпендикулярна биссектрисе BN. Найдите BC, если

Создадим набросок и рассмотрим треугольник АВМ
 Отрезок ВN пересекает его основание АМ в точке К под прямым углом. 
Как следует, ВК - вышина треугольника АВМ.
Но ВК, как часть ВN, его биссектриса.
Если биссектриса и вышина треугольника совпадают, этот треугольник равнобедренный. 
В самом деле, в прямоугольных треугольниках АВК и МВК имеется по равному острому углу при В, и общий катет ВК. 
эти треугольники равны, и 
ВМ=АВ=4
Так как АМ - медиана, то МС=ВМ=4, и
ВС=4*2=8 (ед. длины)