на продолжении диагонали AC квадрата ABCD отложены одинаковые отрезки AM и

Проведем вторую диагональ квадрата ВD, точку пересечения диагоналей обозначим О. 
Диагонали квадрата одинаковы, пересекаются под прямым углом и точкой скрещения делятся напополам. 
Т.к. АМ=NC,  то МО=NO. 
В четырехугольнике ВNDM диагонали перпендикулярны и точкой скрещения делятся напополам. Они разделяют его на 4 прямоугольных треугольника, в которых катеты одинаковы, как следует, эти треугольники одинаковы, одинаковы их гипотенузы и острые углы, т.е. диагонали - биссектрисы углов четырехугольника MBND. 
 Т.к. накрестлежащие углы при скрещении сторон этого четырехугольника диагоналями ( биссектрисами) одинаковы, то стороны BNDМ - параллельны,   BNDМ параллелограмм. 
В параллелограмме ВNDМ стороны равны, его диагонали обоюдно перпендикулярны, разделяют углы напополам,  это признаки ромба. 
ВNDМ - ромб, ч.т.д.