Полная поверхность правильной четырехугольной пирамиды одинакова S. Найдите длину стороны

Сходя из того, что по условию задачи любая апофема творит с вышиной угол 45 градусов, то пирамида является правильной. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды - S = 1/2 Pa, где P - периметр основания, a - апофема боковой грани. Апофема образует с вышиной пирамиды и отрезком, проведенным из точки скрещения вышины и основания на сторону основания прямоугольный треугольник. Это следует из определения вышины пирамиды - она образует с плоскостью основания прямой угол. 

Данный треугольник является равнобедренным, так как сумма углов треугольника одинакова 180 градусам, один из углов прямой, тогда 180 - 90 - 45 = 45. Так как оба угла одинаковы - треугольник равнобедренный. 

Таким образом, длина стороны основания одинакова двойной вышине пирамиды (треугольник равнобедренный, потому второй катет равен вышине пирамиды, а он же равен половине стороны, поскольку пирамида является правильной). 

Исходя из того, что оба катета треугольника, образованного высотой пирамиды и отрезком, проведенным к боковой грани одинаковы, то по аксиоме Пифагора апофема пирамиды одинакова 

a = sqrt( 42 + 42 ) = sqrt( 32 ) = 4 sqrt( 2 ) , четыре корня из двух 

Периметр равен 4 * 2 * 4 = 32 см, таким образом 

S = 1/2 Pa = 1 / 2 * 32 * 4 sqrt( 2 ) = 64 sqrt( 2 ) , 64 корня из двух 

Ответ: 64 корня из двух