Сумма длин диагоналей выпуклого четырехугольника равна 4. Обоснуйте,что расстояние от хоть какой

Из того что сумма длин диагоналей равна 4, следует, что одна из диагоналей не меньше 2.
Пусть есть точка, такая что расстояние от нее до хоть какой из четырех вершин меньше 1. Проведем окружность с центром в этой точке и радиусом 1. Тогда все четыре верхушки нашего четырехугольника будут снутри, то есть весь четырехугольник внутри, НО! заметим, что диаметр окружности 2! Означает, хоть какой отрезок лежащий снутри меньше двух, но у нас снутри лежит диагональ длиной как минимум 2. Противоречие.