через середину D стороны AB треугольника ABC проведены прямые перпендикулярные биссектрисам

Осмотри треугольники ВКD и АМD. 
В их основания перпендикулярны биссектрисам, а биссектрисы перпендикулярны по условию основаниям -
в  ВКD основанию КD,
в  АМD основанию МD. 
Как следует, биссектрисы являются в этих треугольниках и вышинами. Треугольник, в котором биссектриса является сразу высотой - равнобедренный. 
Треугольники ВКD и АМD равнобедренные. 
По условию ВD=АD. 
Как следует, боковые стороны этих треугольников одинаковы, отсюда ВК=АМ.