на стороне треугольника АВС отмечена точка D, прямая СD перпендикулярна к

Пусть P - точка пересечения AM  и CD; и пусть BP пересекает AC в точке Q;
тогда из теоремы Чевы сразу следует
AQ/QC = AD/DB = 3;
из аксиомы Ван-Обеля (следствие аксиомы Чевы)
AP/PM = AD/DB + AQ/QC = 6;
Получилось, что в треугольнике CAM 1) угол С = 60; 2) вышина CP разделяет сторону AM на отрезки в отношении 6:1; 3) AC = 3; этого достаточно, чтоб решить задачку.
Если для краткости записи обозначить CP = h; MP = z; MC = y; AC = a = 3; то просто записать явные соотношения
y^2 = z^2 + h^2;
a^2 = (6*z)^2 + h^2;
(7*z)^2 = y^2 + a^2 - a*y; (это просто аксиома косинусов, косинус 60 равен 1/2; подсказываю, что a = 3)
вычитая из второго уравнения первое, просто отыскать
a^2 - y^2 = 35*z^2;
остается исключить z, подставить a = 3; и получится квадратное уравнение для y; напомню, что ВС = 2*y;
(y^2 + a^2 - a*y)/49 = (a^2 - y^2)/35;
5*y^2 + 5*a^2 - 5*a*y = 7*a^2 - 7*y^2;
12*y^2 - 2*a^2 - 5*a*y = 0;
12y^2 - 15*y - 18 = 0; или BC^2 - (5/2)*BC - 6 = 0;
BC = 5/4 + ((5/4)^2 + 6) = (5 + (25 + 16*6))/4 = (5 + 11)/4 = 4; (2-ой корень отпадает)