обоснуйте, что в кубе abcda1b1c1d1 диагональ a1c1 перпендикулярна b1b

Все грани куба квадраты, диагонали квадрата обоюдно перпендикулярны, B1D1A1C1. B1D1 проекция наклонной B1D. По теореме о 3-х перпендикулярах B1D A1C1
Треугольник A1BC1 равносторонний, Проведем вышину ВК (К точка скрещения диагоналей) B1D пересекается с КВ в точке М.
Треугольники КВ1М и DBM сходственны по двум углам. (см. рисунок) D1B1=DB=2 KB1=2/2 По теореме Пифагора B1D=3 KB=(3/2) KM:MB=1:2 KM:((3/2)KB)=1:2 KB=6/6 B1M:MD=1:2 B1M:(3 B1M)=1:2 B1M=3/3
В треугольнике В1КМ B1K=B1M+MK 1/2=(1/3)+(1/6) Треугольник прямоугольный угол B1MK прямой
Итак, B1D перпендикулярна двум пересекающимся прямым А1С1 и BK, означает перпендикулярна плоскости А1ВС1.