На рисунке отрезки АВ и CD имеют общую середину О. Докажите,

1
Осмотрим треугольник AOC и треугольник BOD:
Угол AOC =  BOD (как вертикальные)
AO=OB и CO=OD (по условию,т.к. точка является O - в центре)
означает, треугольник AOC =  равен треугольнику BOD (по двум граням и углу меж ними)
означает угол DAO =  равен углу  CBO(в равных треугольниках против одинаковых сторон лежат одинаковые углы)

2
Осмотрим треугольник ABD и треугольник ADC:
по условию,  угол BDA  = углу ADC
сторона AD - общая и по условию угол BAD = углу DAC (т.к. AD - биссектриса)
Означает,  треугольник ABD = треугольнику ADC(по двум углам и стороне меж ними)
означает сторона AB=AC(т.к. в одинаковых треугольниках против равных углов лежат одинаковы стороны)