Написать уравнения касательных, проведенных из точки A( 10/3, 5/3) к эллипсу

Выразим уравнение эллипса x/20+y/5=1 условно у.

у =+-(1/2)*(20 - х). То есть получаем 2 уравнения - они выражают верхнюю и нижнюю половины графика условно оси Ох.

Производная функции равна:

верх y' = -х/(2(20 - х)),

низ   y' = х/(2(20 - х)).

Получаем 2 уравнения касательных (точка касания (хо; уо)):

у = (1/2)*(20 - хо) - х/(2(20 - х))*(х - хо).                                 (1)

у = -(1/2)*(20 - хо) + х/(2(20 - х))*(х - хо).                               (2)

Знаменито, что уравнение касательной к эллипсу имеет вид:

(ххо/а) + (ууо/в) = 1.                                                                      (3)

Так как касательная проходит через точку А, подставим её координаты в уравнение (3).

(10*хо/(3*20)) + (5*уо/(3*5)) = 1,

10хо + 20уо = 60.

Получаем хо + 2уо = 6 или

хо = 6 - 2уо.                                                                                    (4)

Подставив хо их уравнения (4) в уравнения (1) и (2), получим уравнения касательных:

у = -х + 5,

у = -х + 2,5.