Задана пирамида ABCD A(1;1;1) B(4;1;-1) C(0;5;2) и D(-2;0;6). Отыскать: а)вышину AH

Задана пирамида ABCD A(1;1;1) B(4;1;-1) C(0;5;2) и D(-2;0;6).  

Отыскать:  

а)вышину AH.  

Определяем координаты векторов из верхушки А.

АД = (-2-1)=-3; 0-1=-1; 6-1=5) = (-3; -1; 5).

АВ = (4-1=3; 1-1=0; -1-1=-2) = (3; 0; -2).

АС = (0-1=-1; 5-1=4; 2-1=1) = (-1; 4; 1).

Творенье векторов  

a b = aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx  

( АВ)х(АС) = (0 - (-8) = 8; 2 - 3 = -1; 12 - 0 = 12) = (8; -1; 12).

Объем пирамиды равен: V = (1/6)*(( АВ)х(АС))*( АД), АД = (-3; -1; 5).

V = (1/6)*((8*(-3) + (-1)*(-1) + 12*5) = (1/6)*(-24 + 1 + 60) = 37/6.

Определяем векторы из верхушки В.

ВС = (-4; 4; 3), ВД = (-6; -1) 7).

Их векторное произведение одинаково:

(ВС)х(ВД) = 28 + 3 = 31; -18 + 28 = 10; 4 + 24 = 28) = (31; 10; 28).

Площадь треугольника ВСД равна:

S(ВСД) = (1/2)*(ВС)х(ВД) = (1/2)(31 + 10 + 28) = (1/2)1845 = = 3205/2.

Отсюда обретаем длину вышины из вершины А на грань ВСД:

АН = 3V/S(ВСД) = (3*37/6)/(3205/2) = 37205/615 21,47673.

б)Расстояние меж прямыми, содержащими ребра AC и BD.  

Определяем векторы: АС = (-1; 4; 1) и ВД = (-6; -1; 7) (ранее найдены).

АСxВД  =  

Расстояние меж ними обретаем из выражения:

x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1

l1 m1 n1

l2 m2 n2  

d = _______________________

АСxВД

Подставим значения:

1 - точка А 2 - точка В Расстояние d меж скрещивающ.прямыми    

x1 x2 y1 y2 z1 z2

1 4 1 1 1 -1

3  0  -2  

х2 - х1 3 0 -2 3 0 Опре-

Вектор АС -1 4 1 -1 4 разделяй-

Вектор ВД -6 -1 7 -6 -1 тель

Определитель      

82  Модуль AСхВD = 38,301436

-45 = 37   Расстояние d = 0,966021222  

Определитель равен: 82 45 = 37.

Модуль ACхВD = 38,30144 , d = 37/38,30144 = 0,966021.

Ответ: расстояние d = 0,966021.  

в)Угол меж прямой AH и плоскостью ABC.

Этот угол можно найти так: = 90 , где угол угол между гранями АВС и ВСД.

Угол равен углу между нормалями к плоскостям обозначенных граней.

Координаты нормали определяются векторным творением.

Нормаль ABC 8 -1 12       модуль (64+1+144) = 209 14,45683.

Нормаль  BCD 31 10 28       модуль (961+100+784) = 1845 = 3205 42,9535.

Косинус угла равен:  

cos = (8*31+(-1)*10+12*28)/( 209*3205) = 574/(342875) 0,924359.

Угол   равен 0,391445 радиан либо 22,42814 градуса.

Отсюда ответ: угол меж АН и плоскостью АВС равен 90 - 22,42814 = 67,57186 градуса.