из вершины большего угла треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр равный

В треугольнике АВС против большей стороны лежит больший угол (свойство). Проведем перпендикуляр АН из большего угла А на его великую сторону ВС. Это вышина треугольника АВС.  Найдем эту вышину. Есть два варианта: 1) отыскать площадь по формуле Герона и затем - вышину, проведенную к стороне 51 см. 2) выразить эту вышину уравнениями из прямоугольных треугольников САН и ВАН по Пифагору и потом отыскать вышину, приравняв оба уравнения и учтя, что СН = х, а ВН = (51-х). Возьмем 1-ый вариант, так как он сразу выводит нас на разыскиваемую вышину.  Полупериметр треугольника равен р=(27+30+51)/2 = 54см.  Тогда по формуле Герона:

Sabc = (54*27*24*3) = 324 см.  Так как S=(1/2)*BC*AH, находим АН: АН=2S/BC = 648/51 12,7 см (за примерный ответ виновен составитель задачки).

Итак, мы отыскали расстояние от основания перпендикуляра до обратной стороны треугольника. Расстояние от вершины перпендикуляра до этой же стороны найдем по Пифагору из прямоугольного треугольника SAH (S - верхушка перпендикуляра к плоскости АВС, а SH - перпендикуляр к ВС по аксиоме о 3-х перпендикулярах): SH=(14+12,7) 18,9 cм.

Ответ: искомые расстояния одинаковы 12,7 см и 18,9 см.