В правильной четырехугольной пирамиде SABCD основание ABCD - квадрат со стороной

Ответ: длина перпендикуляра = 4,681137

Можно решать проще - в вертикальной плоскости, проходящей через ось трапеции, то есть через апофемы пирамиды.

Можно было и так)

Уравнение медианы: М=(1/2)*(2a+2b-c).
Тогда СN=(1/2)*(2CS+2CD-SD)=36.
CN=BM=36.
MP=NP=36 (так как MN - средняя линия треугольника ВРС).
PQ -медиана. PQ=(1/2)*(2MP+2NP-MN)=(1/2)*(4*54-9)=1,523.
Тогда площадь треугольника MPN:
Smpn=(1/2)*PQ*MN=(1/2)*1,523*3=2,2523.
Из формулы для медианы SN треугольника РSC найдем сторону SP.
SN=(1/2)*(2CS+2SP-CP). Либо 6=(1/2)*(288+2SP-216), так как СP=NP+HC=66. Тогда 12=(72+2SP). Или 144=72-2SP. Отсюда
SP=36=6. Мы лицезреем, что SP=SM=Sn=6. Следовательно, в пирамиде SMPN боковые ребра одинаковы, а это означает, что верхушка S проецируется в центр описанной окружности треугольника MPN, радиус которой равен по формуле: R=abc/4S.
В нашем случае R=3*54/923=18/23.
Тогда из прямоугольного треугольника PSH имеем по Пифагору:
SH=(SP-PH)=(SP-R)=(36-324/23)=(36-324/23)=
=(504/23)=614/23.
Ответ: расстояние от верхушки S до плоскости ВСМ одинаково 614/23.

2-ой вариант - координатный способ.
Так как пирамида верная, в основании - квадрат.
Диагональ квадрата одинакова в нашем случае 62.
Вышина пирамиды по Пифагору SO=(SC-OC)=(144-18)=314.
Даны точки: В(0;0;0), С(6;0;0), М(1,5;1,514;4,5). S(3;314;3). Составим уравнение  плоскости через три точки:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xВ  xС-xВ  xМ-xВ
y - yВ  yС-yВ  yМ-yВ = 0.
z - zВ  zС-zВ  zМ-zВ
Подставим данные трех наших точек:
x-0  6-0       1,50                      x-0  6     1,5   
y-0  0-0   1,514-0 = 0.   Либо y-0  0  1,514 = 0.
z-0  0-0      4,5 0                      z-0  0     4,5   
Раскрываем определитель по первому столбцу, обретаем уравнение плоскости:
         0 1,514             6  1,5            6     1,5  
(х-0)*0    4,5    - (y-0)*0  4,5 +(z-0)*0  1,514 =0.
(х-0)(0-0)-(y-0)(27-0)+(z-0)(914-0)=0.    Или
0х-27y+914z=0.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от  точки S(Sx, Sy, Sz) до плоскости можно отыскать, используя последующую формулу:
d=A*Sx+B*Sy+C*Sz+D/(A+B+C) либо
d=0-27*314+914*3+0/(0+729+1134)=
5414/1863=9*614/923=614/23.
Ответ: расстояние от верхушки пирамиды до плоскости ВСМ одинаково 614/23.