В правильном треугольнике ABC на продолжении стороны AB за точку B

Треугольник ABC верный (по условию), как следует:
AB = BC = AC,
Углы ABC, BAC и BCA одинаковы 60 градусам.

Углы LBM и ABC вертикальные, как следует угол LBM равен углу ABC и равен 60 градусам.

На продолжении стороны AB за точку B отметим точку M так, чтобы угол LMB был равен 60 градусам.

Рассмотрим получившийся треугольник BLM:
Угол BLM = 180 - угол LBM - угол LMB = 180 - 60 - 60 = 60
Мы нашли, что все три угла треугольника BLM одинаковы 60 градусам, как следует он верный, как следует BL = BM = LM.

AL = KL (по условию), как следует треугольник ALK равнобедренный, как следует угол LAB равен углу LKM.

Углы LBA и LBM смежные, следовательно угол LBA = 180 - угол LBM
Углы LMK и LMB смежные, как следует угол LMK = 180 - угол LMB
Мы знаем, что угол LBM равен углу LMB, как следует угол LBA равен углу LMK.

Угол ALB = 180 - угол LAB - угол LBA (сумма углов треугольника 180)
Угол KLM = 180 - угол LKM - угол LMK (сумма углов треугольника 180)
Угол LAB равен углу LKM и угол LBA равен углу LMK, как следует угол ALB равен углу KLM.

Мы знаем, что AL = KL, BL = LM и угол LBM равен углу LMB, как следует треугольники ABL и KLM одинаковы, по первому признаку равенства треугольников, как следует AB = KM.

AB = BC и AB = KM, как следует BC = KM.

Точка B делит отрезок CL на два отрезка, как следует CL = BC + BL
Точка M делит отрезок BK на два отрезка, как следует BK = BM + KM
Мы знаем, что BL = BM и BC = KM, как следует CL = BK.

Подтверждено.