Докажите что биссектрисы углов произвольного прямоугольника при скрещении образуют квадрат

Биссектрисы внутренних однобоких углов обоюдно перпендикулярны, потому этот четырехугольник - заранее прямоугольник. Чтобы он был квадратом, довольно доказать равенство смежных сторон. Это можно сделать многими методами, к примеру, так.
Квадрат отличается от произвольного прямоугольника тем, что симметричен условно диагоналей. То есть он перебегает в себя при зеркальном отражении условно прямой, проходящей через обратные верхушки. 
Легко узреть, что:
У приобретенного прямоугольника обратные вершины лежат на прямых, проходящих через середины противоположных сторон Начального прямоугольника. 
Так как Начальный прямоугольник перебегает в себя при отражении относительно этих прямых, то и ПОЛУЧЕННЫЙ при скрещении биссектрис прямоугольник тоже симметричен относительно этих прямых (то есть переходит в себя при отражении), то есть - условно своих диагоналей.
То есть это квадрат. 

Я подсказываю, что совпадение фигур при смещении, повороте либо зеркальном отражении - это ОПРЕДЕЛЕНИЕ равенства. Самое первичное. Так сказать, наиглавнейшее. Потому это подтверждение опирается только на определение равенства фигур и на характеристики параллельных и секущей.