В ПРАВИЛЬНОЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ ПИРАМИДЕ Знамениты СТОРОНУ ОСНОВАНИЯ A И Высочайшая H.

Достаточно трудная задачка, если не спешите - вечером сделаю, днём занят.

превосходно)

спасибо огромное

Предварительные вычисления.
Радиус вписанной окружности основания 
r = 3/6a
Радиус описанной окружности
R = 3/3а
Площадь основания
S = 3/4a
а) Сечение параллельно основанию через середину вышины.
Треугольник этого сечения сходственен треугольнику основания с коэффициентом подобия k = 0,5
Площадь сечения относится с площадью основания как k
s = Sk = S/4 = 3/16a
б) Сечение проходит через боковое ребро и вышину
Основание треугольника сечения r+R, вышина h
Площадь
s = 1/2(r+R)h = 1/2(3/6a+3/3a)h = 1/23/2ah = 3/4ah
в) сечение через сторону основания перпендикулярно обратному боковому ребру
В треугольнике из прошедшего пт и в текущем вышина h общая (на рисунке голубая). Найдём ей через площадь треугольника из прошедшего пт.
Нам нужна длина бокового ребра пирамиды
l = h+R = h+a/3
l = (h+a/3)
s = 1/2 hl
3/4ah = 1/2 h(h+a/3)
3/2ah = h(h+a/3)
h = 3ah/(2(h+a/3))
s = 1/2ha = 3ah/(4(h+a/3)) = 3ah/(4(3h+a))
г) сечение через центр основания параллельно боковой грани
Треугольник этого сечения параллелен и подобен боковой грани пирамиды с коэффициентом подобия k = R/(R+r) = 2/3
Найдём плошадь боковой стороны
Её вышина (голубая)
l = h+r = h+3/36a =  h+a/12
l = (h+a/12)
площадь боковой стороны
s = 1/2al = 1/2a(h+a/12)
площадь сечения
s = ks = 4/91/2a(h+a/12) = 2/9a(h+a/12) 
д) Сечение через середины 4 ребер
Такое сечение можно выстроить только проходящим через середины 2-ух рёбер основания и 2-ух боковых рёбер 
Сечение имеет форму четырёхугольника (либо равносторонняя трапеция или прямоугольник)
Нижнее ребро b - средняя линия основания, его длина
b = a/2
Боковое
b и b - средняя линия боковой грани и в два раза короче бокового ребра, длину его вычисляли ранее (h+a/3)
b = b = ((h+a/3))/2
верхнее ребро b - средняя линия боковой грани, проведённая параллельно основанию, его длина
b = a/2
Итого - у нас прямоугольник с площадью
s = a/2((h+a/3))/2 = (a(h+a/3))/4