Решите пожалуйста. A(3;2);B(0;5);C(-3;2);D(0;-1). Обосновать, что ABCD-квадрат. Найти S

Проекции вектора АВ одинаковы:

АВх = хВ - хА =  0 - 3 = -3;   АВу = уВ - уА = 5 - 2 = 3

Длина вектора IАВI = ((- 3) + 3)) = 18  

Проекции вектора ВС одинаковы:

ВСх = хС - хВ =  -3 - 0 = -3;   ВСу = уС - уВ = 2 - 5 = -3

Длина вектора IВСI = ((- 3) + (-3)) = 18

Проекции вектора СD равны:

СDх = хD - хC =  0 + 3 = 3;   СDу = уD - уC = -1 - 2 = -3

Длина вектора IСDI = ( 3 + (-3)) = 18

Проекции вектора DA одинаковы:

DAх = хA - хD =  3 - 0 = 3;   DAу = уA - уD = 2 + 1 = 3

Длина вектора IСDI = ( 3 + 3) = 18

Итак, все стороны четырёхугольника АВСD равны по величине.

Если в четырехугольнике все стороны одинаковы, то этот четырехугольник является ромбом.

Скалярное творение векторов АВ и ВС:

АВ ВС = АВх ВСх + АВу ВСу = -3 (-3) + 3 (-3) = 0; Векторы АВ и ВС перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов CD  и ВС

СD ВС = CDх ВСх + CDу ВСу = 3 (-3) + (-3) (-3) = 0; Векторы CD и ВС перпендикулярны.

Два угла ромба АВСD, прилежащие к одной стороне ВС прямые, как следует и два других угла ромба прямые.

Квадрат - это ромб, у которого все углы прямые.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСD - квадрат cо стороной

а = 18

Площадь квадрата АВСD:    S = а = 18