В сектор , центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со

В сектор, центральный угол которого 120 градусов, вписан квадрат со стороной а. Отыскать радиус сектора.

Обозначим вписанный квадрат АВСД, 

В и С - точки касания с дугой сектора,  точки  А и Д - с его гранями-радиусами, О - верхушка угла сектора. 

АОД - равнобедренный, углы при А и Д одинаковы 30.

Из О проведем биссектрису угла АОД до пересечения с ВС в точке М. Обозначим точку скрещения с АД - Н. 

Тогда ВО - разыскиваемый радиус R

R=МО+МВ

МВ=а/2

МО=МН+НО

МН=а, 

ОН=ДН*tg30=(а/2)*1/3=a/23

МО=а+a/23=а(23+1)

R=[3a+a(23+1)]:12

R=a(4+3):3

R=a(4+3):3

--------------------------------------------------

Либо по т. косинусов:

R=АВ+АО- 2АВ*АО*cos