Биссектрисы углов C и D трапеции ABCD пересекаются в точке P,

В угол можно вписать окружность.  
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Центр вписанной в угол ВСД окружности лежит на биссектрисе СР
Центр вписанной в угол СДА окружности лежит на биссектрисе ДР
Т.к. точка Р для биссектрис углов ВСД и СДА общая - она является центром вписанной в оба угла окружности. 
Расстояние от центра вписанной в угол окружности до его сторон равно ее радиусу. Расстояние из Р до прямых ВС, СД, АД  - перпендикуляр и равно радиусу этой окружности.
Вариант решения:
Расстояние от точки до прямой - отрезок, проведенный к ней перпендикулярно. 
ОК, ОМ, ОН - перпендикуляры к прямым ВС, СD, AD соответствующей. 
Прямоугольные  СКО=СМО по равному острому углу при С и общей гипотенузе ОС. 
КО=ОМ
Прямоугольные  НОD= MOD по одинаковому острому углу при D  и общей гипотенузе OD. 
НО=ОМ 
КО=ОМ, НО=ОМ
КО=ОН=ОМ, что и требовалось доказать.