Найдите угол меж плоскостью MKL и прямой MB в правильной четырехугольной

Пусть A - начало координат

Ось X - AB

Ось Y - AD

Ось Z - ввысь от ABC в сторону M

Пусть Все ребра единичные.

O- Центр скрещения диагоналей ABCD

Из Треугольника AOM -

AO = MO = 2/2

Координаты точек

M (0,5 ; 0,5 ;2/2)

K (0,5 ; 0 ; 0)

L (0 ; 0.5 ; 0 )

Вектор MB ( 0,5 ; -0,5 ; - 2/2)

Уравнение плоскости MKL

ax+by+cz+d=0

Подставляем координаты принадлежащих плоскости точек

0,5 a + 0,5 b + 2/2 c + d =0

0,5 a  + d =0

0,5 b + d = 0

Пусть d = -1 Тогда a =2 b =2 c= - 2

Уравнение

2x+2y-2z-1 =0

Нормаль  n(2; 2; -2)

Cинус искомого Угла

n * MB / n / MB = 1 - 1  + 1 / (4+4+2) / 1/4+1/4+1/2) = 1 / 10

Искомый угол - lt;ВМP. ВP=OH - расстояние от прямой BD до плоскости MKL (вышина из прямого угла MOQ).  Тогда PM - проекция BM на плоскость MKL. МO=BO = a2/2.  OQ=a2/4. MQ=(2a/4+2a/16) = a10/4.  ОН=BP=MO*OQ/MQ = a/10.

Sin = BP/BM = (a/10)/a = 1/10

Или подробнее:

Точки В и О лежат на прямой, включающей в себя диагональ BD квадрата АВСD. Плоскость KML включает в себя равнобедренный треугольник KML, высота которого МQ лежит на полосы пересечения обоюдно перпендикулярных плоскостей KML и AMC (диагонали квадрата АВСD обоюдно перпендикулярны).  Расстояние от точки О до плоскости MKL это перпендмкуляр ОН к прямой MQ, то есть это высота из прямого угла треугольника OMQ. Заметим, что треугольник МОВ - равнобедренный (BD=a2, BO=a2/2, а так как все ребра пирамиды равны, то в треугольнике ВОМ катет МО=a2/2). МO=BO =a2/2. OQ=a2/4 (половина и четверть диагонали квадрата - основания пирамиды соответственно). Тогда по Пифагору MQ=(2a/4+2a/16)= a10/4.

По свойству вышины из прямого угла имеем: ОН=MO*OQ/MQ = a/10.

Проведем через точку Н прямую "а" параллельно диагонали BD (и, соответственно, прямой KL) и опустим перпендикуляр ВР на эту прямую. ВР=ОН, так как ВРНО - прямоугольник (lt;HOB=lt;HPB=90). Проведем прямую MP. Эта прямая лежит в плоскости, включающей в себя треугольник MKL, так как  прямая РН и точка М принадлежат этой плоскости. Означает она является проекцией наклонной МВ на эту плоскость (ВР=ОН - перпендикуляры к этой плоскости). Разыскиваемый угол меж прямой МВ и плоскостью, включающей в себя треугольник MKL, это угол BMP между наклонной МВ и ее проекцией МР на эту плоскость.

Sin = BP/BM = (a/10)/a =1/10 0,316.  

= arcsin(0,316) 18,4 Это ответ.