Площадь правильного треугольника ABC одинакова 32 см ^ 2. Точка N

Для удобства расчётов примем 1/8 часть стороны треугольника за х.

Площадь четырехугольника KLMN легче найти вычитанием трёх треугольников из данного.

Стороны треугольника АKN одинаковы половине начального, тогда S1 = (1/4) *32 = 8 см.

Используя свойства прямоугольных треугольников с углами 60 и 30 градусов, находим площади треугольников BLM и CNM.

S(BLM) = (1/2)*3x*33x = (9/2)3x см,

S(CNM) = (1/2)*2x*23x = 23x см.

Их сумма одинакова S2 + S3 =  (9/2)3x + 23x = (13/2)3x см.

Сторону начального треугольника определяем на базе формулы площади равностороннего треугольника.

S = a3/4.

a = (4S/3) = (4*32/3) = 8(2/3).

Так как х = а/8, то х = а/64 = 64(2/3)/64 = (2/3).

Обретаем площадь S2 + S3 =  (13/2)3*(2/3) = 13 см.

Ответ: S(KLMN) = 24 - 13 =11 см.