Во вписанном четырехугольнике KLMN стороны LM и MN одинаковы. Окружность Z

4 угольник вписанный во что? В окружность?

в окружность Z c центром М

Как если M лежит на окружности,а она в ее центре!!!???

хм, видите ли какое дело, я бы вам показала примерный мой чертеж, но не знаю верно ли

М это центр окружности Z, по условию)касается отрезка LN, означает на окружности лежат только 2 угла вписанного четырехугольника L и N

А сорри я неверно понял условие.

может быть)но я не знаю, как это обосновать

Это очень интересная задачка :)

Да очень  прекрасное задание.
Треугольник  MLN-равнобедренный,откуда MLN=MNL.
Так как  4 угольник KLMN-вписан  в окружность,то  углы опирающиеся на одинаковые дуги одинаковы: MLN=MKN=MNL=MKL=a.                                    Откуда KM-биссектриса LKN.
И  наконец самое главное: раз центр  вписанной  окружности  лежит   на точке скрещения его биссектрис,то  очевидно , что центр  вписанной  в треугольник KLN окружности лежит  на биссектрисе KM.                        (Означает  KM проходит  через центр вписанной окружности).
И  вот  мы подобрались  к истинному чуду  этой задачки: проведем  через центр вторую биссектрису  LO.                                                                                  (Центр  лежит  и на биссектрисе NLK соответственно).
Обозначим  разбитые  ей  углы по b. Из суммы  углов треугольника  верно  что :LOK=180-(a+b)  ,также  LOK смежный  угол с LOM.
Означает : LOM=180-(180-(a+b))=a+b,но  вот  еще  одна  неожиданность:
             MLO=MLN+NLO=a+b. Опа MLO=LOM,  то  треугольник           MLO-равнобедренный.  ML=MO.
И вот  второе  волшебство этой  задачки:
Проведем перпендикуляр  MT на  LN и перпендикуляр MT1 на  прямую     q LK.  T1OM=LKM=a ,как  соответствующые углы  при параллельных
прямых q и LK. (Там  не  подписал угол a ,но  сущность светла надеюсь).
И вот  оно: треугольники MT1O и  MTL равны  по  стороне  и двум прилежащим к  ней углам. Вправду: T1OM=MLT=a.
Поскольку у этих  2-ух треугольников  есть  по одинаковому прямому углу. То  из суждений суммы углов треугольника: T1MO=LMT и равны стороны : ML=MO ,откуда следует вышеупомянутое  утверждение.
Тогда:  MT=MT1,то  есть  если окружности  Z дотрагивается  прямой   LN соответственно в точке  T (Тк радиус перпендикулярен касательной). То  выходит что MT=MT1=R.
А  означает радиус  окружности Z перпендикулярен прямой q . И T1 принадлежит  окружности  Z.  То  есть q-касательная к  окружности Z :)
ЧТД.