Докажите, что середины сторон прямоугольника являются верхушками ромба. И напротив, середины

Обоснуйте, что: 

а)

 середины сторон прямоугольника являются верхушками ромба.

В прямоугольнике все углы прямые, обратные стороны одинаковы и параллельны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть данный прямоугольник АВСD, точки К, М, Н, Т - соответственно середины АВ, ВС, СD, DА. 

Соединим  последовательно точки К, М, Н и Т

Треугольники КАТ, КВМ, МСН  и НDТ прямоугольные, в каждом один катет равен половине наименьшей стороны, иной - половине большей стороны. Как следует, эти треугольники одинаковы, отсюда одинаковы их гипотенузы: КМ=МН=НТ=ТК. 

КМНТ - четырехугольник, все стороны которого одинаковы (признак ромба).

Не считая того,  диагонали  КНВС и МТАВ. 

В прямоугольнике стороны пересекаются под прямым углом, как следует, параллельные им диагонали КН и МТ тоже пересекаются под прямым углом - признак ромба. 

Четырехугольник КМНТ - ромб, и его верхушками являются середины сторон прямоугольника, что и требовалось обосновать.  

------------------

  б) 

 середины сторон ромба являются верхушками прямоугольника.         

Пусть дан ромб АВСD, точки КМНТ - середины его сторон. Соединим их поочередно. 

Диагонали ромба АС и ВD пересекаются в точке О под прямым углом и  каждая разделяет ромб на два равных треугольника.   АК=КВ, ВМ=МС, СН=НD и DТ=ТА.  

 КМ и ТН -   средние полосы треугольников  АВС и СDТ и параллельны диагонали АС ромба. 

КМ=ТН

Подобно ТК и МН - средние полосы треугольников АВД и СВD и параллельны диагонали ВD ромба. 

КТ=МН. 

Стороны четырехугольника ТКМН параллельны и одинаковы - КМНТ - параллелограмм. 

Диагонали ромба точкой их скрещения делятся напополам и, пересекаясь,  делят четырехугольник ТКМН на 4 одинаковых параллелограмма, углы которых при точке скрещения диагоналей ромба О прямые. 

Углы  К, М, Н и Т этих 4 параллелограммов, обратны углам при О и по свойству углов параллелограмма одинаковы им. Как следует, четырехугольник ТКМН - параллелограмм, все звоны которого - прямые. 

ТКМН - прямоугольник, что и требовалось обосновать.