докажите, что угол между биссектрисами острых углов прямо угольного треугольника равен

Доказательство:

Сумма углов треугольника одинакова 180

В прямоугольном треугольнике один угол прямой. Следовательно, сумма острых углов прямоугольного треугольника

180-90=90

Биссектриса хоть какого угла разделяет его пополам.

При пересечении  биссектрис острых углов прямоугольного треугольника появляется треугольник с тупым углом при точке пересечения биссектрис  углов,  и в этом треугольнике  каждый из острых углов вдвое меньше подходящего  острого угла исходного прямоугольного треугольника.  Их сумматоже в два раза меньше 90 и одинакова 45.

Отсюда тупой угол этого треугольника равен 

180-45=135. 

Острый угол при пересечении биссектрис равен 45 и как смежный с этим тупым углом, и как наружный угол при верхушке треугольника. 

Светло, что это всегда верно для угла, образующегося при скрещении биссектрис острых углов прямоугольного треугольника, независимо от их величины.