Биссектрисы углов A и B трапеции ABCD пересекаются в точке K,

В условии что-то не так: точка лежащая на стороне CD не может быть удалена от CD на такое же расстояние, как от сторон AB и BC.

Быстрее всего в условии имелось в виду, что точка К равноудалена от АВ, ВС и АD. Поэтому что CD не может быть в вопросе, ведь точка К лежит на ней!!!
Если речь идет о гранях АВ, ВС и АD, тогда необходимо в треугольниках КВС, КВА и КАD провести три высоты (поскольку речь идет о равноудаленности, а расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из данной точки на подходящую прямую.)
Итак, пусть KF - вышина в треугольнике КВС, КТ - вышина в треугольнике КВА, КМ - вышина в треугольнике KAD.
1) Осмотрим треугольники KFB и KBT. Они прямоугольные. А т.к. КВ - общая у их сторона и КВ - биссектриса угла АВС, то получаем, что угол BKF = углу ТКВ. А означает эти треугольники одинаковы (по 2-му признаку).
2) Подобно доказывается равенство треугольников КТА и КМА.
3) Из равенств треугольников следует равенство подходящих сторон. Означает, KF = KT = KM, как следует точка К равноудалена от обозначенных сторон. Ч.т.д.