Вышина прямоугольного треугольника разделяет его на два треугольника. Радиусы окружностей,

непонятно, почему пропорциональность завершается аксиомой Пифагора- это надобно обосновать.

А вы предшествующее предложение прочтите, это и есть подтверждение. Но если для вас не понятны абсолютно очевидные вещи, я могу и расшифровать это на "математическом" языке. Раз все три треугольника сходственны, то есть такое неизменное число K, такое, что r = K*c; где r - радиусы вписанных окружностей, а с - гипотенузы. Гипотенузы 2-ух из этих 3-х треугольников - это катеты третьего, то есть c1 = a; c2 = b; а по аксиоме Пифагора a^2 + b^2 = c^2;

Я не уверен, так что если для вас еще не понятно - напишите, я продолжу :) Что дотрагивается r = K*c; то это можно доказать к примеру так r = (a + b - c)/2 = c*(a/c + b/c - 1)/2; то есть K = (a/c + b/c - 1)/2; светло, что для сходственных треугольников отношения a/c и b/c - схожие.

Линейную связь между радиусом вписанной окружности и сходственными гранями сходственных треугольников можно обосновать и для произвольного треугольника

не только для прямоугольного, но я это тут писать не буду - сами покопайтесь, если интересно.