В треугольнике ABC окружность, вписанная в треугольник, дотрагивается средней линии, параллельной

По свойству средней полосы треугольника: 

Дальше осмотрим четырехугольник BMNC:
Четырехугольник можно обрисовать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его обратных сторон одинаковы.
Получаем: 

Т.к. MN- средняя линия, то: AB=BM+MA=2BM и AC=AN+NC=2NC
Запишем:
AC+AB=2BM+2NC=2(BM+NC)=2(MN+BC)=2(+BC)= 2* = 3BC
ч.т.д