Вот, вымыслил еще одну "зарядку для хвоста"Дан прямоугольный треугольник.Высота к

То есть надо просмотреть перечень пифагоровых троек, и отыскать там такую (самую первую такую), у которой "катеты" сразу являются "гипотенузами" других пифагоровых троек. Я вижу (15, 20, 25), у которого вышина 12 разрезает его на два (16, 12, 20) и (9, 12, 20). радиусы 5 4 и 3. Собственно, если решать "с конца", то радиусы и обязаны создавать минимальную примитивную пифагорову тройку.

Такие треугольники так можно генерировать. К примеру, тройка (5,12,13). у такового треугольника радиус вписанной окружности 2. Если брать как бы "квадрат" тройки, то есть 5*(5,12,13) 12*(5,12,13) 13*(5,12,13), то треугольники с такими размерами соответствуют условиям (кроме минимальности), а радиусы образуют тройку 2*(5,12,13)

если вы возьмете "резаный" треугольник 5,12,13, то один радиус =2, иной теснее не есть целым числом, да и радиус начального треуг. далековато не целый. Да и не малые к тому же. . Единственно, если коэфф. брать кратный 5, тогда да, но самый маленький радиус теснее будет=10....

ммм. я же написал всё.

символ * значит умножение, а запись 2*(5, 12, 13) это (10, 24, 26)

а, я просто не сообразил.

Введем обозначения:
r - радиус окружности, вписанной в великий треугольник,
r - радиус окружности, вписанной в синий треугольник,
r - радиус окружности, вписанной в бурый треугольник.

Будут использованы формулы:
h = ab
a = ac
b = bc

Великой треугольник:
r = (a + b - c)/2 = ((ac) + (bc) - (c))/2 = c( a + b - c)/2

Голубий треугольник:
r = (a + h - a)/2 = ((a) + (ab) - (ac))/2 = a(a + b - c)/2

Коричневый треугольник:
r = (h + b - b) /2 = ((ab) + (b) - (bc))/2 = b(a + b - c)/2

r/r = a/c
r/r = b/c

Так как длины радиусов - целые числа, то с, a и b должны быть квадратами целых чисел.
Наименьший квадрат целого числа, который является суммой квадратов целых чисел, это 25  (25 = 9 + 16)
Тогда,

r/r = 3/5
r/r = 4/5

Так как радиусы обязаны быть меньшими, это 3, 4 и 5.