Треугольник со гранями 5 см, 6 см, 9 см вертится вокруг

Осмотрите предложенный вариант.
Обратите внимание, что площадь поверхности складывалась из наружного и внутреннего конусов, а объём - вычитался соответственно.
Если есть возможность рассмотреть другой вариант, непременно воспользуйтесь, проверьте.

Вариант решения. 

Примем длину сторон АВС одинаковыми: АВ=9, ВС=6, АС=5. 

АВ gt; АС+ВС  ABC  тупоугольный с тупым углом С. 

Тело вращения образуется при вращении треугольника вокруг АС. 

Разыскиваемая площадь состоит из суммы площадей боковых поверхностей конуса с образующей АВ и конуса с образующей ВС и общим радиусом ВО. 

Радиус ОВ - высота АОВ, проведенная к продолжению АС. Найдем  её из площади АВС. 

По ф. ГеронаS ABC=(p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, a, b, c- его стороны. 

р=(5+9+6):2=10

S (АВС)=(10541)=200=102, 

По формуле S=ah:2   

BOAC:2=102

OB=2S:AC=202:5=42

r=OB=42

 Пусть полная площадь тела вращения=S, площадь боковой поверхности конуса с образующей АВ=S1, с образующей ВС=S2

S=S1+S2

S1=rL=429=362 см 

S2=426=242 см 

S=602 см 

Объём тела, интеллигентного вращением АВС вокруг стороны АС, равен разности объёмов конуса с образующей АВ и конуса с тем же радиусом  и образующей ВС. 

Примем объем конуса с образующей АВ =V1,  объём конуса с образующей СВ=V2, объем тела вращения =V

V=V1-V2

По т.Пифагора АО=(AB-OB)=(81-32)=49=7

CO=AO-AC=2

V1=r*h:3=327:3=224/3 см 

V2=322:3=64/3 см 

V=(224-64)/3=160/3 см