На шар, радиус которого 10 см, наложен ромб так, что любая

Плоскость пересекает шар по окружности. Для ромба эта окружность - вписанная, ее диаметр равен высоте ромба ( см. набросок)

Отрезок, проведенный из центра шара к центру плоскости сечения перпендикулярен этой плоскости и  является катетом прямоугольного треугольника, где второй катет - радиус окружности, а гипотенуза - радиус шара. 

Обозначим центр шара О, центр окружности в сечении Н, радиус сечения r, радиус шара R.

По т.Пифагора r=(R-OH)=(100-64)=6 см

h=d=2r=12 см

Площадь ромба одинакова творению его стороны и вышины. 

S=ah=12,512=150 см