Окружности с радиусами, равными 4 см и 1 см, внутренне дотрагиваются.

Координаты точек А и В найдём из решения системы, 1-ое уравнение которой - уравнение окружности с радиусом 4, а 2-ое - уравнение касательной к окружности радиусом 1.

Поместим заданные окружности общей точкой касания в начало прямоугольной системы координат. Тогда центры окружностей будут на оси абсцисс.
Пусть их координаты: (-1; 0) и (-4; 0).
Так как ровная АВ образует с общей касательной к окружностям угол  в 60, то к оси Ох угол будет -30.
Биссектриса этого угла пересечёт ось Оу в точке -(1/tg 30) = -3.
Можно найти параметры касательной в уравнении у = кх + в:
Тангенс угла наклона к оси Ох равен -1/3, в = -3.
Уравнение АВ: у = (-1/3)х - 3.
Уравнение окружности R = 4: (x + 4) + y = 16.
Используем подстановку:
(x + 4) + ((-1/3)x - 3) = 16.
x + 8x + 16 + (x/3) + 2x + 3 - 16 = 0.
4x + 30x + 9 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Разыскиваем дискриминант:
D=30^2-4*4*9=900-4*4*9=900-16*9=900-144=756;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x=(756-30)/(2*4)=(621-30)/8=(321-15)/4 -0.313068 (это точка В);x=(-756-30)/(2*4)=(-621-30)/8=(-321-15)/4 = -7.186932 (точка А).
Определяем координаты точек по оси Оу:
у = (-1/3)((321-15)/4) - 3 = (3 - 37)4  -1,5513.
у =  (-1/3)((-321-15)/4) - 3 = (3 +37)4  2,417326.
По координатам обретаем длину хорды АВ:
                Точка А                                   Точка В
        Ха                 Уа                   Хв                          Ув
-7,186932       2,417326          -0,313068                -1,551301
АВ = ((Хв-Ха)+(Ув-Уа)) = 7,937253933.