В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания одинаковы 5, а боковые
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 стороны основания одинаковы 5, а боковые рёбра равны 11.
а) Обоснуйте, что прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через верхушки C, A1 и F1.
а) Прямые именуются скрещивающимися, если одна из прямых лежит в плоскости, а иная эту плоскость пересекает в точке не принадлежащей первой прямой.
Ровная СА1 лежит в плоскости АСС1А1, ровная С1D1 эту плоскость пересекает в точке С1, не принадлежащей первой прямой; по определению СА1 и С1D1 скрещивающиеся.
Углом меж скрещивающимися прямыми называется угол меж двумя прямыми, параллельными им и проходящими через произвольную точку (определение).
Все углы правильного шестиугольника одинаковы 120, все его стороны равны.
А1В1С1 - равнобедренный, углы В1А1С1=В1С1А1=(180-120):2=30. угол D1C1А1=120-30=90, угол СС1D1 прямой ( в правильной призме боковые грани - прямоугольники).
С1D1 перпендикулярна плоскости, в которой лежит ровная СА1.
Обратные стороны правильного шестиугольника параллельны. F1A1С1D1 и по свойству параллельных прямых также перпендикулярна плоскости АСС1А1, а, означает, перпендикулярна хоть какой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через А1.
Прямые F1A1D1C1, как следует, D1C1 перпендикулярна СА1.
б) Данное сечение проходит через стороны DC и и A1F1 оснований призмы.
Проведём продолжения прямых FE и СD они пересекутся в точке K. Тогда K принадлежит плоскости сечения и плоскости FF1E1E. Ровная F1K пересечет ребро ЕЕ1 в точке Н.
Продолжим прямые DС и АВ до их пересечения в точке М. Эта точка принадлежит плоскости сечения и плоскости АА1В1В. Проведя прямую А1М, получим точку её пересечения с ребром ВВ1 в точке Р. Шестиугольник А1F1HDCP сечение, площадь которого нужно отыскать.
S А1F1HDCP =S (А1F1DС)+S A1РС+S F1HD
A1РС=F1HD
В трапеции КFAM углы F и А=120, как следует, углы при К и М=180-120*=60,
Привяжем прямоугольную систему координат к верхушке С.
В правильном шестиугольнике угол АСD=90, lt;DCF=lt;DFC=30.
Точки:С(0;0;0), А1(0;53;11), С1(0;0:11), D1(5;0;11).
Вектор СА10;53;11.
Вектор C1D15;0;0.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное творение одинаково нулю.
Скалярное творенье рассчитывается по формуле: (a,b)=x1*x2+y1*y2+z1*z2.
В нашем случае:
(CА1,C1D1)=0+0+0=0.
Скрещивающиеся прямые CA1 и C1D1 перпендикулярны, что и требовалось обосновать.
2). Построение сечения.
Точка F1 принадлежит сечению и грани FF1E1E, Значит линия скрещения пройдет через эту грань до встречи с прямой, содержащей ребро СD, в точке S. Проведя прямую F1S, получим точку P Точно так же обретаем точку Q на ребре ВВ1. Соединив приобретенные и имеющиеся точки С,Q,A1,F1,P и D, получим разыскиваемое сечение СQA1F1PD.
Площадь этого сечения одинакова площади прямоугольника CDF1A1 и площадей 2-ух одинаковых треугольников A1QC и F1PD.
Модуль (длина) вектора СА1=[(Xa1-Xc)+(Ya1-Yc)+(Za1-Zc)] либо
СА1=[(0-0)+(53-0)+(11-0)]=196=14.
Scdf1a1=CD*CA1=5*14=70.
В треугольнике ТВС lt;CBT=180-120=60, lt;TCB=90-30=60. Означает треугольник равносторонний и ТВ=ВС=ВА=5.
Треугольники TQB и ТА1А подобны с коэффициентом подобия k=1/2.
BQ=11:2=5,5. Итак, имеем точку Q(-2,5;2,53;5,5).
Есть формула вычисления площади треугольника, данного координатами вершин, исходя из того, что площадь треугольника одинакова половине векторного творения векторов, на которых построен векторный параллелограмм:
Формула для вычисления векторного творения:
a b = aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx.
Вектор СА10;53;11. Вектор CQ-2,5;2,53;5,5.
Тогда векторное творенье векторов СА1хСQ равно:
53*5,5-11*2,53; 11*(-2,5)-0; 0-53*(-2,5)=27,53-27,53;-27,5;12,53
Модуль СА1хСQ=(0+756,25+468,75)=1225=35.
Так как площадь треугольника одинакова половине векторного произведения, то площадь двух треугольников одинакова 35 ед.
Ответ: S=70+35=105ед.
-
Вопросы ответы
Статьи
Информатика
Статьи
Разные вопросы.
Разные вопросы.
Математика.
Русский язык.
Русский язык.
Разные вопросы.
Қазақ тiлi.
Английский язык.
Математика.
История.