В треугольнике ABC на гранях BC и AB взяты точки E

это ты по фану задачи такие выкладываешь?

Нет, на школьной олимпиаде была такая задача, её никто не решил :(

Надобно рассматривать все варианты треугольников АВС?

Чтоб производилось условие lt;BED=2lt;АСВ, построим на верхушке С угол ВСF, одинаковый двум углам С треугольника АВС.
Проводя прямые параллельно прямой СF, мы лицезреем, что если треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то условие задачки не может быть выполнено, поскольку ровная ЕD будет параллельна стороне ВС треугольника при любом положении точки Е на стороне ВС и точка D будет лежать на продолжении стороны АВ, а не на стороне, как дано в условии.
Означает lt;A должен быть больше lt;C.
Но в любом случае по теореме о неравенстве треугольника в треугольнике АЕС АС+ЕСgt;AE. Остается обосновать, что AD AE.
Осмотрим остроугольный треугольник АВС.
Продолжим прямую ЕD до скрещения с прямой СА в точке Р.
Угол А треугольника острый, значит угол  РАD - тупой, а угол АDЕ - еще тупее... (как наружный угол, равный сумме 2-ух внутренних, не смежных с ним. В треугольнике АDЕ тупым может быть только один угол и он - больший. Против большего угла лежит большая сторона.
Означает АЕgt;AD и АС+ЕСgt;AD, что и требовалось обосновать.

P.S. Можно отметить, что при lt;A=90 решение будет таким же, так как
lt;ADEgt;90, а если lt;Agt;90, то вероятен случай, когда ADgt;AE.