Теорема о геометрическом месте точек, равноудаленных от сторон угла

Точки, лежащие на биссектрисе угла, равноудалены от сторон этого угла.

Спасибо

Одним из способов решения задач на построение является способ геометрических мест.

Геометрическим местом точек величается фигура, которая состоит из всех точек плоскости, владеющих определенным свойством.

К примеру, окружность можно найти как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Важное геометрическое место точек дает следующая теорема:

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, объединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Подтверждение. Пусть А к В данные точки, а ровная, проходящая через середину О отрезка АВ перпендикулярно к нему (рис. 105). Мы обязаны обосновать, что:

1) любая точка прямой а равноудалена от точек А и В;

2) любая точка D плоскости, равноудаленная от точек А к В, лежит на прямой а.

То, что любая точка С прямой а находится на схожем расстоянии от точек А и В, следует из равенства треугольников АОС и ВОС. У этих треугольников углы при верхушке О прямые, сторона ОС общая, а АО=ОВ, так как О середина отрезка АВ.

Покажем сейчас, что любая точка D плоскости, равноудаленная от точек  А   и  В,  лежит  на  прямой а. Осмотрим треугольник ADB. Он равнобедренный, так как AD = BD. В нем DO медиана. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является высотой. Означает, точка D лежит на прямой а. Аксиома подтверждена.