Биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках X, Y,

Для решения этой задачки нам придется вывести кое-какие формулы для площади треугольника.

1. S=Rr(sin A+sin B+sin C).

В самом деле, S=pr=r(a+b+c)/2=
r(Rsin A+Rsin B+Rsin C) по аксиоме синусов.

2. S=4Rrcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).

Преобразуем: 
sin A+sin B+sin C=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+sin(180-A-B)=
2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2=
2sin(A+B)/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)=
4sin(180-C)/2cos(A-B+A+B)/4cos(A-B-A-B)/4=
4cos (C/2)cos(A/2)cos(B/2).

По этой формуле мы запишем площадь треугольника ABC.

Перебегаем к площади треугольника XYZ. Нам понадобится еще одна формула.

3. S_(XYZ)=2R^2sin Xsin Ysin Z.

Имеем: S=(xyz)/(4R)=(2Rsin X)(2Rsin Y)(2Rsin Z)/(4R) = то, что надобно.

Заметим, что R общее для обоих треугольников, и что углы
X=(B+C)/2; Y=(A+C)/2; Z=(A+B)/2

S_(XYZ)=2R^2sin(B+C)/2sin(A+C)/2sin(A+B)/2=
2R^2sin(180-A)/2sin(180-B)/2sin(180-C)/2=
2R^2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).

Потому S_(ABC)/S_(XYZ)=(4Rr)/(2R^2)=(2r)/R

Ответ: 39/50