Биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках X, Y,
Биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках X, Y, Z. Радиус вписанной окружности треугольника ABC равен 39. Радиус описанной окружности треугольника ABC равен 100. Найдите отношение площади треугольника ABC к площади треугольника XYZ
Задать свой вопрос1 ответ
Еганов
Степан
Для решения этой задачки нам придется вывести кое-какие формулы для площади треугольника.
1. S=Rr(sin A+sin B+sin C).
В самом деле, S=pr=r(a+b+c)/2=
r(Rsin A+Rsin B+Rsin C) по аксиоме синусов.
2. S=4Rrcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
Преобразуем:
sin A+sin B+sin C=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+sin(180-A-B)=
2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2=
2sin(A+B)/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)=
4sin(180-C)/2cos(A-B+A+B)/4cos(A-B-A-B)/4=
4cos (C/2)cos(A/2)cos(B/2).
По этой формуле мы запишем площадь треугольника ABC.
Перебегаем к площади треугольника XYZ. Нам понадобится еще одна формула.
3. S_(XYZ)=2R^2sin Xsin Ysin Z.
Имеем: S=(xyz)/(4R)=(2Rsin X)(2Rsin Y)(2Rsin Z)/(4R) = то, что надобно.
Заметим, что R общее для обоих треугольников, и что углы
X=(B+C)/2; Y=(A+C)/2; Z=(A+B)/2
S_(XYZ)=2R^2sin(B+C)/2sin(A+C)/2sin(A+B)/2=
2R^2sin(180-A)/2sin(180-B)/2sin(180-C)/2=
2R^2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
Потому S_(ABC)/S_(XYZ)=(4Rr)/(2R^2)=(2r)/R
Ответ: 39/50
1. S=Rr(sin A+sin B+sin C).
В самом деле, S=pr=r(a+b+c)/2=
r(Rsin A+Rsin B+Rsin C) по аксиоме синусов.
2. S=4Rrcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
Преобразуем:
sin A+sin B+sin C=2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+sin(180-A-B)=
2sin(A+B)/2cos(A-B)/2+2sin(A+B)/2cos(A+B)/2=
2sin(A+B)/2(cos(A-B)/2+cos(A+B)/2)=
4sin(180-C)/2cos(A-B+A+B)/4cos(A-B-A-B)/4=
4cos (C/2)cos(A/2)cos(B/2).
По этой формуле мы запишем площадь треугольника ABC.
Перебегаем к площади треугольника XYZ. Нам понадобится еще одна формула.
3. S_(XYZ)=2R^2sin Xsin Ysin Z.
Имеем: S=(xyz)/(4R)=(2Rsin X)(2Rsin Y)(2Rsin Z)/(4R) = то, что надобно.
Заметим, что R общее для обоих треугольников, и что углы
X=(B+C)/2; Y=(A+C)/2; Z=(A+B)/2
S_(XYZ)=2R^2sin(B+C)/2sin(A+C)/2sin(A+B)/2=
2R^2sin(180-A)/2sin(180-B)/2sin(180-C)/2=
2R^2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
Потому S_(ABC)/S_(XYZ)=(4Rr)/(2R^2)=(2r)/R
Ответ: 39/50
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время
Обществознание.
10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8
Математика.
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Составить монолог от имени дневника двоечника 7-10 предложений
Русский язык.
Рассматривая литературный язык как сложное взаимодействие книжного языка и разговорного,В.И.Чернышёв горячо
Разные вопросы.
Арабы входят в __________________ групп народов. Местом расселения арабов с незапамятных
Разные вопросы.
Грузовой автомобиль марки краз за одну поездку может доставить 7.500 кирпичей
Математика.
Определить предложения какие они по цели высказывания и по интонации
Русский язык.
"Три толстяка" Называли эту площадь Площадью Звезды последующей причине.
Русский язык.
на одной грядке коротышки посадили 3 ряда морковок по 8 штук
Разные вопросы.
Облако тегов