Геометр поставил на окружности несколько точек. Потом он измерил все расстояния

Осмотрим одну из отмеченных точек.
Заметим, что на определённом расстоянии R от неё может быть не более двух точек, т.к. любая такая точка лежит на двух окружностях: на исходной и на окружности с центром в избранной точке и радиусом R, - а две окружности пересекаются не более чем в 2-ух точках.
Так как всего расстояний не более 50, то точек, не считая выбранной, не более 100, а всего не более 101.

Если точки стоят в вершинах правильного 101-угольника, то расстояний 50, а больше точек не может быть по доказанному.

Означает, величайшее количество точек одинаково 101.

Еще один вариант решения.
Чтобы ИЗМЕРИТЬ расстояние меж двумя точками, надобно провести меж ними прямую и измерить длину отрезка меж этими точками.
Геометр, расставляя точки на окружности получил вписанный многоугольник.
Формула КОЛИЧЕСТВА диагоналей многоугольника:
K=n*(n-3)/2.
Расположив, к примеру, 5 точек на окружности, он получил пятиугольник с 5 диагоналями, да еще 5 сторон - итого 10 отрезков, которые он измерил.
Представим, что все отрезки различные. Означает, для получения 10 различных чисел он расставил 5 точек.
Но представим, что многоугольник вышел правильным.
И тогда мы увидим, что РАЗНЫХ чисел у геометра вышло только 2 это 1 сторона (все стороны одинаковы) и 1 диагональ (все остальные одинаковы измеренной теснее диагонали).
Вышло так потому, что правильный n-угольник имеет n осей симметрии, проходящих через его центр.
Если n - четно, то оси симметрии правильного многоугольника содержат
обратные вершины.
Если n - нечетно, то осями симметрии правильного многоугольника являются прямые, любая из которых проходит через верхушку многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Проведем ось симметрии для нашего 5-угольника. Она пройдет через верхушку многоугольника перпендикулярно противолежащей ей стороне.
Рассмотрим отрезки по одну из сторон оси симметрии. Это две стороны 5-угольника и диагональ. Стороны одинаковы, значит имеем 2 различных измерения из 10 вероятных.
Остальные повторяют значения теснее измеренных расстояний. Значит геометр может расставить дополнительные точки на окружности.
Представим, он добавил еще две точки так , чтоб получился верный 7-угольник, у которого ось симметрии так же пройдет через вершину многоугольника и середину противоположной стороны.
Геометр получил 3 различных отрезка по одну из сторон оси симметрии - одну сторону и две различных диагонали. Все другие измерения расстояний приведут к повторению теснее приобретенных 3-х различных величин.
Итак, построив верный 7-угольник, он получил 3 различных отрезка либо напротив, чтоб получить 3 различных числа (отрезка) ему пришлось выстроить верный 7-угольник.
Сейчас мы можем сказать, что получили формулу для отрезков РАЗНОЙ длины в правильном многоугольнике: О=(n-1)/2, либо наоборот,
n=2*O+1 - формулу для определения количества очень вероятных точек на окружности для получения данного числа различных отрезков (чисел при измерении), где О - наибольшее количество РАЗНЫХ по величине отрезков.
Тогда для получения 50 РАЗНЫХ отрезков геометр может расположить на окружности  2*50+1=101 точку, построив Верный 101-угольник.
И это будет наибольшее число точек, так как любое равенство 2-ух отрезков при измерении убавляет количество различных отрезков на 1.
Ответ: наибольшее количество точек на окружности для получения 50 различных чисел (отрезков) одинаково 101.

P.S. Для объяснения многословных рассуждений приведены рисунки для 3-х случаев расположения точек на окружности.