Вышина, опущенная на гипотенузу треугольника, делит его на два треугольника ,

Пусть этот прямоугольный треугольник будет АВС с прямым углом С,
а вышина к гипотенузе СН. 
Обозначим отрезок АН=х
НВ=у
Тогда S(AHC)=АН*СН:2=6,
откуда СН=6*2:х
Из треугольника СНВ
СН=54*2:у
Катет СН в обоих треугольниках один и тот же, как следует
12:х=108:у
12у=108х
у=9х
Самое время вспомнить, что  вышина прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой вышиной;
СН=АН*ВН=х*9х=9х
СН=3х
Из тр-ка АНС
S=3x*x:2
12=3x
х=4
х=2
АВ=АН+НВ=10х
АВ=10*2=20
Проверка:
Площадь АВС=6+54=60
СН=3х=6
S(ABC)=CH*AB:2=6*20:2=60