1. Найдите площадь диагонального сечения, площадь полной поверхности и объем куба, диагональ

1. Диагональ куба D = a3, потому a = D/3.
Найдем площадь диагонального сечения. Это прямоугольник, у которого одна сторона одинакова а, а вторая - диагональ грани, одинакова a2.
Площадь сечения S(сеч) = a*a2 = a^2*2 = D^2*2/3
Площадь полной поверхности S(куб) = 6a^2 = 6D^2/3 = 2D^2
Объем куба V(куб) = a^3 = D^3/27 = D^3*3/9
Подставляем числа
1) D = 3 м; S(сеч) = 92/3 = 32 м^2; S(куб) = 2D^2 = 18 м^2;
V(куб) = 273/9 = 33 м^3
2) D = 6 дм; S(сеч) = 362/3 = 182 дм^2; S(куб) = 2D^2 = 72 дм^2;
V(куб) = 2163/9 = 243 дм^3

2. Диагональ основания d = a2.
Половина диагонали d/2, вышина пирамиды h и боковое ребро L образуют прямоугольный треугольник. По аксиоме Пифагора.
L = ((d/2)^2 + h^2) = (a^2/2 + h^2)
h = (L^2 - (d/2)^2) = (L^2 - a^2/2)
Апофема b, боковое ребро L и половина основания a/2 тоже образуют прямоугольный треугольник. По аксиоме Пифагора
b = (L^2 - (a/2)^2) = (4L^2 - a^2)/2
Площадь основания S(осн) = a^2.
Площадь боковой грани
S(гр) = a*b/2 = a/2*(4L^2 - a^2)/2 = a(4L^2 - a^2)/4
Площадь боковой поверхности
S(бок) = 4*S(гр) = a(4L^2 - a^2)
Площадь полной поверхности
S(пир) = S(осн) + S(бок) = a^2 + a(4L^2 - a^2)
Объем V(пир) = 1/3*a^2*h
Подставляем числа:
1) a = 2 см, h = 4 см, L = (a^2/2 + h^2) = (4/2 + 16) = 18 = 32 см
S(бок) = 2(4*18 - 4) = 4(18 - 1) = 417 см^2 ; S(пир) = 4 + 417 см^2
V(пир) = 1/3*2^2*4 = 1/3*4*4 = 16/3 см^3
2) a = 6 дм, L = 5 дм, h = (L^2 - a^2/2) = (25 - 36/2) = (25-18) = 7 дм
S(бок) = 6*(4*25 - 36) = 6*8 = 48 дм^2; S(пир) = 36 + 48 = 84 дм^2
V(пир) = 1/3*6^2*7 = 1/3*36*7 = 127 дм^3