в равностороннем треугольнике авс точки М,N и K - середины сторон

Док-во:
ABC - равносторонний ( по условию)
углы ABC, BCA, CAB = 60 градусов.
Доп. построение: 
продлим прямую AC и отметим на ней т.F
углы ACB и BCF - смежные.
угол BCF = 180 - 60 = 120 град.
при повороте треугольника ABC на 120 градусов, он займет такое же положение в пространстве, что и до этого. 
MNK сходствен ABC ( т.к. все полосы MNK объединяют середины сторон равностороннего ABC)
средняя линия MN перейдёт в среднюю линию NK, что и требовалось доказать.