Аксиома Птолемея с подтверждением. Приветствуются другие (неординарные)

можно _ два доказательство, но они мыслю стандартные ...

Это тоже замечательно. Давайте!

Главное доходчиво для деток.

. . . и прекрасное доказательство , если использовать подобия треугольников

Давайте, Оганез. Если место займут - я еще раз вывешу.

Иное решение тоже стандартное: по аксиоме косинусов определяем диагонали и умножаем

Неординарность не самое важное. Поменяйте пожалуйста фотку. не могу читать. Додумываюсь что конкретно там у Вас, но убежденности нет.

Требовательно разговаривая, аксиома Птолемея дает нужное и достаточное условие того, что около четырехугольника можно описать окружность. Но если правдиво, я ни разу не встречал задачку, в которой пришлось бы использовать достаточность. То есть всегда посещает дано, что четырехугольник вписан в окружность, и отсюда делается подходящий вывод. Предлагаю в таком виде аксиому и формулировать.

Аксиома Птолемея.  Если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то произведение диагоналей одинаково сумме произведений обратных сторон

                               ACBD=ABCD+ADBC.

Меня всегда дивил тот факт, что в этой аксиоме приходится перемножать противоположные стороны. Как-то далеко друг от друга они размещены. Вот если бы примыкающие перемножались, то никакого предубеждения у меня не возникало бы. Это и отдало толчок к моему подтверждению. 

Найдем площадь ABCD двумя методами.

Во-первых, эта площадь одинакова половине произведения диагоналей на синус угла меж ними - эта формула, как мне кажется, школьникам обязана быть знаменита.

Доказывается она или разбиением четырехугольника диагоналями на 4 треугольника, или более прекрасно - разглядывая его как половину (по площади) параллелограмма, чьи стороны параллельны диагоналям четырехугольника и проходят через его вершины, 

Если обозначить угол меж диагоналями буквой Ф, то 

                                S=(1/2)ACBDsin Ф

Угол Ф - это угол меж хордами AC и BD, а он, как знаменито из школьной программки, равен полусумме дуг AB и CD, высекаемых этими хордами. Через вписанные углы он выражается в виде суммы углов BCA и CBD. Запомним это. 

Во-вторых, более или наименее природно попробовать сосчитать площадь ABCD как сумму площадей двух треугольников, скажем ABC и ADC, но в этом случае мы будем получать творения примыкающих сторон, а не обратных. Выйдем из положения не совсем обыденным способом. Отрежем от четырехугольника треугольник ABC (остается нетронутым треугольник ADC) , перевернем ABC иной стороной и "приклеим" на ветхое место. Если Вы не любите "играть в бирюльки" и желайте "математическое рассуждение", то вот оно. Осмотрите поперечник окружности, перпендикулярный AC, и рассмотрите точку B', симметричную точке B условно этого диаметра. Окончательно, она опять лежит на окружности, при этом AB=CB'; BC=B'A. Другими словами, мы получили четырехугольник AB'CD, площадь которого одинакова площади старого, с теми же гранями, но сейчас те стороны, которые были обратными, стали примыкающими. Разобьем четырехугольник AB'CD на два треугольника так, чтоб их гранями были прежние обратные. Тогда 

S_(ABCD)=S_(AB'CD)=S_(AB'D)+S_(B'CD)=
(1/2)AB'ADsin DAB'+(1/2)B'CCDsin B'CD

Во вписанном четырехугольнике, как знаменито, сумма противоположных углов одинакова 180, значит синусы этих углов равны, потому 

S_(ABCD)=(1/2)(AB'AD+B'CCD)sin DAB'=
(1/2)(BCAD+ABCD)sin (DAC+CAB')=
(1/2)(BCAD+ABCD)sin (DBC+BCA)=
(1/2)(BCAD+ABCD)sin Ф

(углы DAC и DBC опираются на одну дугу и потому равны,
углы CAB' и BCA опираются на одинаковые хорды B'C и AB и потому одинаковы). 

Сравнив две приобретенные формулы для площади ABCD, получаем разыскиваемую формулу.

Пример на внедрение  аксиомы Птолемея. 

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, AB=1, AC=2, AD=6/5, 

Cм.  фото   
Многие (если не все) формулы тригонометрии можно вывести исходя аксиомы Птоломея ...