Теорема Чевы. Подтверждение аксиомы. Пример использования. Четкий, понятный и читаемый

Нет теснее того интереса !

Точки A , B , C лежат соответственно на прямых BC , CA , AB треугольника ABC. Прямые AA , BB , CC пересекаются в одной точке либо параллельны тогда и только тогда, когда: (AB/BC)*(CA/AB)*(BC/CA) = 1 .

Подтверждение приведете?

Оганес, да соберитесь с мощами!

Аксиома Чевы. Дан треугольник  и точки 
на гранях BC, AC и AB соответственно. Отрезки 
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда




Лемма. Если числа  таковы, что 

то

,

только бы знаменатель в ноль не обращался.

Подтверждение леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в 1-ый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Вобщем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби ложить, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в подтверждении.

Обозначим общее значение дробей  и
буковкой 
Тогда 





что и требовалось доказать.

Чтоб эта лемма стала совершенно явной, охото привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль требовательного рассуждения, но подсобляющее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некоторой местности в различных масштабах, a - это расстояние меж пт D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - подобные расстояния на другой карте. В этом случае  - это отношение масштабов карт. Светло, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на 2-ой карте. Понятно, что их отношение опять одинаково отношению масштабов карт.

Подтверждение аксиомы.

1. Пусть обозначенные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник  оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как обозначено на чертеже.  Осмотрим первую дробь

Поскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников  и  с общей вышиной, дробь не поменяется, если поменять числитель и знаменатель на площади обозначенных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники
и , можно поменять числитель и знаменатель и на их площади. 

Потому



Воспользуемся сейчас леммой: дроби не поменяются, если брать разность числителей и разность знаменателей:



Проведя подобное рассуждение для двух иных дробей, получаем:



что и доказывает аксиому Чевы в одну сторону.

2. Пусть  не пересекаются в одной точке.Проведем через точку скрещения  и 
отрезок  (точка  размещена на стороне ). 
По доказанному,



Если бы было выполнено

,

то 



что невероятно при 

(скажем, если точки на стороне 
размещены в порядке 
то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя 2-ой, означает, первая дробь больше 2-ой).

На этом доказательство завершается.
 
Замечание. Несложно получить тригонометрическую форму аксиомы Чевы. 
Воспользуемся для этого теоремой синусов:





Аналогично получаем



Отсюда выходит новая формулировка теоремы Чевы.

Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда 




Примеры.

1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в главной формулировке аксиомы Чевы одинаковы 1.

2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Тут удобнее воспользоваться аксиомой Чевы в тригонометрической форме.

3) Вышины в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче пользоваться тригонометрической формой.