Обоснуйте,что если в четырехугольник АВСД вписана окружность с центром в точке

Осмотрим треугольник АОВ. Тут lt;OAB=1/2lt;A. Для этого утверждения мы использовали свойство касательных к окружности: отрезки касательных АВ и АD к окружности, проведенные из одной точки А, одинаковы и сочиняют одинаковые углы с прямой АО, проходящей через эту точку А и центр окружности О (lt;OAB=lt;OAD=1/2lt;A).
Таким же образом утверждаем, что lt;ОВА=1/2lt;В (касательные ВС и ВА проведены к окружности из точки В).
Зная сумму углов треугольника, запишем:
lt;AOB=180-(lt;OAB+lt;OBA)=180-(1/2lt;A+1/2lt;B)=180-1/2(lt;A+lt;B).
Осмотрим треугольник COD. Тут lt;OCD=1/2lt;C (касательные CB и CD к окружности проведены из точки С) и lt;ODC=1/2lt;D (касательные DC и DA проведены из точки D). Тогда
lt;COD=180-(lt;OCD+lt;ODC)=180-(lt;1/2lt;C+1/2lt;D)=180-1/2(lt;C+lt;D).
Зная сумму углов четырехугольника ABCD, запишем:
lt;A+lt;B+lt;C+lt;D=360,
lt;A+lt;B=360-lt;C-lt;D.
В выражение lt;AOB=180-1/2(lt;A+lt;B) подставим значение для суммы lt;A+lt;B:
lt;AOB=180-1/2(lt;A+lt;B)=180-1/2(360-lt;C-lt;D)=1/2(lt;C+lt;D). 
Запишем сумму углов АОВ и COD:
lt;AOB+lt;COD=1/2(lt;C+lt;D) + 180-1/2(lt;C+lt;D)=180, что и требовалось доказать.