1. Координаты точек: Р(4; -5;2), С(-1; 3; 1). Найдите сумму координат

1. Надобно через середину вектора РC провести плоскость, перпендикулярную РC и отыскать точку пересечения этой плоскости и оси Z. Точка скрещения будет явно равноудалена от точек Р и С.
Вектор РC-5;8;-1 (из координат начала вычитаем координаты конца), его середина -
точка М(1,5;-1;1,5) (координаты середины отрезка PC обретаем по формуле
x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(Хо;Yo;Zo) перпендикулярно вектору
PCn1;n2;n3, выражается формулой:
n1(X-Xo)+n2(Y-Yo)+n3(Z-Zo)=0.
В нашем случае: -5Х+7,5+8Y+8-Z+1,5=0 либо 5Х-8Y+z-17=0.
Тогда точка К скрещения этой плоскости с осью 0z (х=0 и y=0) будет иметь координаты К(0;0;17).
Сумма координат этой точки одинакова 17.

Проверка: найдем модули векторов КС и КР. Вектор КС1;3;16, вектор КР4;-5;15.
Модули векторов: КC= (1+9+256)=266. KP=(16+25+225)=266.Итак, расстояния от точки К до точек С и Р равны.

2. Чтоб отыскать координаты вершины D параллелограмма, надо отыскать точку О скрещения его диагоналей (а так как в параллелограмме диагонали точкой скрещения делятся пополам, надо отыскать середину вектора АС) и отыскать координаты вектора ВD по координатам его начала (точка В) и середины (точка О).
Итак, координаты точки О (середина отрезка АС) находим по формуле: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
В нашем случае это О(2,5;-0,5;-0,5). тогда координаты конца вектора ВD найдем по этой
же формуле, подставив известные значения точек В и О:
-2+Хd=5, 4+Yd=-1, -5+Zd=-1. Xd=7, Yd=-5, Zd=4. Итак, имеем точку D(7;-5;4).
Тогда сумма координат этой точки одинакова 6.

Проверка: Вектора АВ и CD (также как и  BC и АD) должны быть одинаковы по модулю и коллинеарны. Найдем координаты векторов:
AB=-6;5;-8, CD6;-5;8. BC3;-4;-1, AD3;-4;1 И их модули:
AB=125, CD=125. BC=26, AD=26. Итак, фигура АВСD - параллелограмм.