Радиусы вневписанных окружностей около треугольника одинаковы 3, 4 и 5 соответственно.

Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.

Впишем в треугольник окружность с радиусом r.

Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.

Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по знаменитым радиусам вневписанных окружностей.

.

(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.

Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.

Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.

Используем характеристики вписанной и вневписанной окружностей.

Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:

р = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.

Отсюда р = 47.

Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 347 8,75189949.

Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.

Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, либо rр = rа(р - а).

Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.

По аналогичным формулам обретаем стороны b и с.

Подставив значения, получаем:

а = 3,93835477 b = 5,105274702 c =4,667679728 .

Делаем проверку корректности найденных значений.

По формуле Герона S = (p(p - a)(p - b)(p - c)).

Подставив значения, обретаем S = 8,75190051 . что подходит уже отысканному значению.

Вторая проверка: по аксиоме косинусов угол А равен 47,26788996.

С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/47) = 47,26788996 правильно.