100 баллов, срочнодиагональ правильной четырехугольной призмы равна 35 дц, а диагональ

А) Диагональ правильной четырехугольной призмы одинакова 35 дц, а диагональ боковой грани одинакова 25 дц. Вычислите объем призмы.

ДАНО: АВСDA1B1C1D1 - верная четырехугольная призма ; B1D = 35 дц ; C1D = 25 дц.

Отыскать: V ( призмы )
__________________________

РЕШЕНИЕ:

см. рис. 1

1) По свойству правильной четырехугольной призмы отрезок В1С1 перпендикулярен плоскости C1D1D =gt; В1С1 перпендикулярен C1D

Означает, В1С1D - прямоугольный, угол B1C1D = 90

По теореме Пифагора:

B1D = B1C1 + C1D

B1C1 = 35 - 25 = ( 35 - 25 )( 35 +25 ) = 10 60 = 600

B1C1 = 106 дц

2) B основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат

Осмотрим С1DC ( угол C1CD = 90 ) :

По теореме Пифагора:

C1D = C1C + CD

C1C = 25 - ( 106 ) = 625 - 600 = 25

C1C = 5 дц

3) V ( призмы ) = S осн. h = S abcd C1C =



ОТВЕТ: V ( призмы ) = 3000 дц


Б) Основание пирамиды является прямоугольник со гранями 10 см и 24 см, боковые ребра образуют с основанием углы 60. Вычислите объем пирамиды.

ДАНО: ABCGH - четырёхугольная пирамида ;
ABCG - прямоугольник ; угол НАС = 60 ; АВ = 10 см ; ВС = 24 см.

Отыскать: V ( пирамиды )
___________________________

РЕШЕНИЕ:

см. рис. 2

Так как все боковые ребра пирамиды образуют с основанием углы в 60, означает, пирамида является правильной, то есть все боковые ребра пирамиды одинаковы.

1) Осмотрим ACG ( угол AGC = 90 ) :

По аксиоме Пифагора:

AC = AG + CG

AC = 24 + 10 = 576 + 100 = 676

AC = 26 см

Опустим высоту ОН пирамиды, тогда вышина проецируется в центр основания ( прямоугольника ). Центром прямоугольника является точка пересечения его диагоналей.

АО = ОС = 1/2 АС = 1/2 26 = 13 см - по свойству скрещения диагоналей прямоугольника

2) Рассмотрим АНО ( угол АОН = 90 ) :

tg HAO = OH / AO

tg 60 = OH / 13

OH = 13 tg 60 = 13 3 = 133 см

3) V ( пирамиды ) = 1/3 S осн. h = 1/3 S abcg OH =


ОТВЕТ: V ( пирамиды ) = 10403 см