Докажите, что угол BAC равен углу CAT. Всё что нам дано:

Так что надобно обосновать? По условию: "Обоснуйте, что угол BAC равен углу CAT" либо по тексту, что трапеция равнобедренная?.

Узнав чему равна площадь в общем виде мы сможем найти вышину, позже мы сможем отыскать катеты(которые лежат на основании трапеции) треугольников интеллигентных высотами трапеции по аксиоме Пифагора. Окажется, что катет левого треугольника равен (AD-BC)/2, тогда можно утверждать, что катет правого треугольника тоже равен (AD-BC)/2, как следует они одинаковы

По аксиоме Пифагора, т.к. AB и AD радиусы они раны, а вышину мы найдём из пощади

Условие не корректное. В УСЛОВИИ не сказано, что АВСD - трапеция. Только в дополнительных рассуждениях упомянуто про трапецию...

Если дана трапеция, нет нужды подтверждать её равнобедренность. Довольно разобраться с ТАМ ( как во втором варианте первого решения).

1. Проведем среднюю линию трапеции ТМ, которая пересечет диагональ трапеции AC в точке Q. Осмотрим треугольник АМТ. В нем сторона АМ=AB/2 = R/2 (так как МТ - средняя линия трапеции). Сторона АТ=R. Следовательно, АМ/АТ = (R/2)/R = 1/2.

МQ=BC/2 (так как MQ - средняя линия треугольника АВС).

QT=AD/2=BC/4 (средняя линия треугольника АСD. Тогда MQ/QT=(BC/2)/(BC/4)=1/2.

Отрезок AQ является биссектрисой угла АМТ по свойству биссектрисы: "биссектриса угла треугольника делит обратную сторону на доли, пропорциональные прилегающим сторонам". В нашем случае: АМ/АТ=MQ/QT =gt; AQ - биссектриса угла АМТ.

Следовательно, lt;BAC=lt;CAT, что и требовалось обосновать.

2. Треугольники АВС и АСТ одинаковы по двум сторонам и углу меж ними (lt;BAC=lt;CAT - подтверждено выше,  АВ=АТ - радиусы, АМ - общая).  =gt;  ВС=СТ.  =gt;  CD=AD (так как CD и AD одинаковы 2*ВС). АВ=AD как радиусы. =gt; AB=CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная, что и требовалось обосновать.

Проведём в треугольнике ACD среднюю линию. Она пересечёт AC в точке Q (запомним, что QC принадлежит AC). При этом QT AD, и как следует QT BC. Видим, что QT=AD/2. Сторона BС также равна AD/2, как следует BС=QT. Т.к. BС=QT и BС QT, то BCTQ-параллелограмм. Получается, что точка Q является как верхушкой параллелограмма, как и точкой на отрезке AC.

Проведём к хорде BT медиану AP. При этом треугольники ABP и ATP будут одинаковы по 3-м сторонам, т.к. AB=AT, BP=PT, AP - общая. Как следует, углы APB и APT в этих треугольниках одинаковы, а т.к. эти углы смежные, то они одинаковы 90 градусов. Выходит, что AP является перпендикуляром к хорде.

QC и BT - диагонали параллелограмма, которые пересекаются в их серединах, но т.к. AP - медиана =gt; P - середина BT, то точка P принадлежит также QC, а т.к. QC принадлежит AC (см. ранее), то и P принадлежит AC, т.е. точки Q и P лежат на AC.

Точки A и P лежат, как на AP, так и на AC, как следует AP и AC лежат на одной прямой.

Т.к. AP перпендикулярен BT, то и QC перпендикулярен BT. Диагонали QC и BT параллелограмма QBCT перпендикулярны, как следует QBCT является ромбом =gt; BQ=BC=CT=QT.

Треугольники BAQ и TAQ одинаковы по трём сторонам. У них AB=AT, BQ=QT, AQ-общая =gt; одинаковы углы BAQ и TAQ =gt; одинаковы углы BAC и TAC