Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD , в котором BC =

а) Диагонали прямоугольника одинаковы и точкой скрещения делятся пополам. Как следует, все боковые ребра пирамиды одинаковы, так как имеют одинаковые проекции. Осмотрим боковые грани трапеции ABS и CBS. Это равнобедренные треугольники. В треугольнике АВS:

Cos(lt;SBA) = BH1/SB или Cos(lt;SBA) = BР/АB (из прямоугольного треугольника АВР). ВР=АВ*Cos(lt;SBA) =АВ*ВН1/SB.

В треугольнике CВS: Cos(lt;SBC) = BH2/SB либо Cos(lt;SBC) = BQ/BC(из прямоугольного треугольника CВQ). ВQ=BC*Cos(lt;SBC) =ВС*ВН2/SB.

Но ВС=2АВ (дано). ВН1=АВ/2, ВН2=ВС/2=АВ. (Так как SH1 и SH2 - медианы). Тогда ВР=АВ*(АВ/2)/SB = АВ/2SB.

ВQ=2АВ*АВ/SB =2АВ/SB. PQ= BQ-BP =2АВ/SB -АВ/2SB= 3AB/2SB.

BP : PQ = (АВ/2SB):(3AB/2SB) = 1:3, что и требовалось обосновать.

б) Проведем NP параллельно CQ. Двугранный угол при ребре SB - это угол APN, так как АР перпендикуляр к SB и NP перпендикуляр к SB. По условию Треугольник BSC равносторонний (SB= BC).
Тогда CQ - высота и медиана и BQ=BS/2.
BP/BQ=1/4 (из доказанного выше). =gt; PN=CQ/4 (треугольники ВPN и BQS сходственные).
CQ=(3/2)*BC по формуле вышины для правильного треугольника).

PN=(3/8)*BC=(3/4)*AB.

АР=(АВ-ВР) = (АВ-(АВ/4АВ)) =(АВ-(АВ/4))=(АВ-(АВ/4)).

АР=АВ15/4.

AN=(АВ-ВN) = (АВ-(BC/4)) = (АВ-(2AB/4)) =AB3/2.

По теореме косинусов: Coslt;APN)=(AP+PN-AN)/2AP*PN.

Coslt;APN)= (3AB/8)/(AB*35/8) = 1/5 = 5/5.

Ответ: lt;APN = arccos5/5 arccos(0,447) 63,5.