висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута дорвейвню h. Вдстань

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом В.

Биссектриса АЕ пересекает ВС в точке Е, ВЕ = 5, вышина из В одинакова 7.

Примем ВС = х, АВ = у.

Тогда АС = (х + у).

Свойство высоты из прямого угла:

7 = (АВ*ВС)/АС = ху/(х + у). Отсюда ху = 7(х + у).

Свойство биссектрисы:

5/у = (х - 5)/(х + у).

Из этой пропорции получаем ху - 5у = 5(х + у).

В этом уравнении заменим ху из первого свойства: ху = 7(х + у).

7(х + у) - 5у = 5(х + у).

Отсюда получаем 2(х + у) = 5у.

Возведём в квадрат:

4х + 4у = 25у либо 4х = 21у, у = 4х/21, у = 2х/21.

Возведём 1-ое свойство в квадрат:

(х * у)/(х + у) = 49 и подставим у = 4х/21.

(х*4х)/(21*(х + (4х/21))) = 49.

4х^4/25x = 49 либо 4x = 25*49.

Извлекаем корень: 2х = 5*7 = 35, отсюда х = 35/2 = 17,5.

Наименьший катет - это АВ = у = 2х/21 = 35/21 = 521/3.