Дано треугольник ABC. Найдите точку M такую, чтоб в четырехугольник ABCM

Нам даны три верхушки вписанного четырехугольника: А, В и С. Надобно отыскать четвертую верхушку, удовлетворяющую условию задачки.

Свойства: У вписанного четырехугольника сумма протволежащих углов одинакова 180. МAB+lt;BCМ = lt;АВС+lt;АМС=180. (1)

Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении биссектрис его углов. (2)

Определение критерий для построения

Пусть центр вписанной окружности О, тогда в четырехугольнике АВСО:

lt;АОС = 360 - lt;ВАО-lt;АВС-lt;ВСО либо

lt;АОС = 360 - lt;АВС - ((1/2)*lt;МАВ + (1/2)lt;МСB)) (из 2).

Но из (1) светло, что (1/2)*lt;МАВ + (1/2)*lt;МСB =90.

Означает для удовлетворения условий задачки нужно, чтоб

lt;АОС = 270 - lt;АВС.

а). Построение центра вписанной окружности.

Построим на отрезке АС треугольник АОС с углом

АОС = 270 - lt;АВС. Для этого:

1. Построим угол, одинаковый (270 - lt;АВС) и разделим его напополам.

2. Построим равнобедренный треугольник АРС с основанием АС и углами при основании АС, одинаковыми полученному в п.1 углу.

Построим описанную около треугольника АРС окружность и на скрещении этой окружности с биссектрисой угла АВС отметим точку О - центр вписанной окружности.

б). Найдем точку М: От луча АО отложим угол ОАК = углу ОАВ. =gt; АО является биссектрисой утла КАВ. На скрещении луча АК и окружности, описанной около треугольника АВС, отметим искомую точку М.

Приобретенный четырехугольник АВСМ - вписанный и описанный.

Подтверждение.

Поскольку все четыре верхушки лежат на окружности, четырехугольник АВСМ вписанный.

lt;ABC=2*lt;ABO.